مترجم: فرید احسانلو
منبع:راسخون




 

این مسئله را در حالت كلی می‌توان از راه محاسبه پتانسیل گرانشی توزیع بیضی‌وار جرم و از آن‌جا با محاسبه میدان تحلیل كرد. این امر مستلزم كاربرد هماهنگ‌های كروی (معمولاً بر حسب گشتاورهای لختی)، و تحلیلی از اعتبار تقریب‌های به كار گرفته شده است. اما، در این بحث كه محاسبه را كافی نمی‌دانیم و تحلیل مركز جرمی نیز برای چنین مواردی موجه نیست، انتگرال گیری مستقیم میدان برای موردی كه g در قطب دارای تقارنی بسیار خوب است، كافی خواهد بود. اما تغییر شكل كلی بیضی‌وار پخت در مورد یك كره مشكل است، بنابراین در مورد عبارت مشتق نیز به علت وجود جمله‌های نامعین چنین خواهد بود، اما، از آنجا كه تنها تغییر شكل‌های كوچك مورد نظر ماست، جمله‌های مختلف را می‌توان در یك سری توانی با ضریب تغییر شكلی همچون بسط داد، كه b نیم محور كوچك بیضی‌وار چرخشی در راستای محور چرخش، و a نیم محور بزرگ عمود بر آن است. g_p یعنی مقدار شتاب در قطب از رابطه زیر به دست می‌آید كه در آن g_0 مقدار شتاب در سطح كره‌ای با حجم معادل است.
(2)
از آنجا كه f تقریباً برابر ∆R⁄R است، و ∆R تفاوت میان شعاع استوایی و قطبی است، (یعنی )، نتیجه می‌شود كه g_p با شعاع تغییر می‌كند.
(3)
چون فقط 3/2 این مقدار ناشی از تغییر شعاع قطبی است باید ضریب تغییر، 2/3 برابر بزرگتر باشد:
(4)
یعنی این تغییر فقط 10/1 مقدار (هوای آزاد) یا cm/s244ر0 است كه از معادله (1) به دست می‌آید. این مقدار تقریباً 3/1 مقدار cm/s22ر1 است كه باید توضیح داده می‌شد. پس، این اثر گرانشی مشاهده شده بزرگتر باید از این واقعیت باشد كه چگالی زمین یكنواخت نیست و در نزدیكی مركز زمین بیشتر است. البته این از نوع همان استدلالی است كه علت افزایش g را در یك چاه توضیح می‌دهد، همان‌طور كه زایدینس (1972) پیرامون آن به تفصیل بحث كرده است. می‌توانیم مشتق g_p را نسبت به f مساوی صفر قرار دهیم تا تعیین شود كه در چه میزانی از پختی یك كره یكنواخت، با افزایش پختی، كاهش g_p آغاز می‌شود. معادله حاصل را باید به طریق عددی محسبه كرد. هرگاه f تقریباً برابر 28ر0 یا محور كوچك بیضوی 4/3 محور اصلی آن باشد، g به بیشینه می‌رسد. در كره‌ای كه در نزدیكی مركز چگالی بیشتری داشته باشد، مقدار g در قطب، حتی به ازای پختی بیشتر، افزایش می‌یابد. پس، بنابراین ملاحظات، مناسب‌تر آن است كه بیشتر بودن g در قطب‌ها را با این واقعیت توضیح بدهیم كه قطب‌ها به درون چگال زمین نزدیك‌ترند، تا اینكه بر فاصله از مركز زمین تأكید كنیم؛ چون فقط 3/1 تغییر مشاهده شده g از تغییر شكل كره یكنواخت ناشی می‌شود.
پیوست
شدت میدان گرانشی، g=F/m ، در نقطه‌ای در امتداد محور كه به فاصله D از مركز یك بیضی‌وار چرخشی یكنواخت با نیم محورهای a و b قرار گرفته است، با استفاده از رابطه زیر به دست می‌آید.
(5)
كه در آن ρ چگالی است. پس

اگر D=b باشد، خواهیم داشت:

با استفاده از مقدار g در سطح یك كره معادل، یعنی ، و با استفاده از شرط برابر بودن حجم‌ها، یعنی ، معادله بر حسب می‌شود.

این معادله به ازای مقادیر كوچكf، به معادله (2) تبدیل می‌شود.

/ج